Elektrizitätslehre

Elektrizität umfasst die Beschreibung von Ladungen, ihrer räumlichen Auswirkung, also des sogenannten elektrischen Felds, und ihrer Bewegung, des elektrischen Stroms. Diese Phänomene spielen für den Mediziner nicht nur wegen der modernen Technik eine Rolle (z.B. beim EKG oder für die Defibrillation), sondern auch aufgrund natürlicher Prozesse, die „ladungsgetrieben“ sind, wie z.B. die Reizleitung des Nervensystems. Letztere werden im Kapitel Ruhe- und Aktionspotenzial ausführlich besprochen, während hier einfache Schaltkreise und elektrische Geräte vorgestellt werden. Darüber hinaus gibt es einen kurzen Überblick über magnetische Phänomene, die durch einen fließenden Strom erzeugt werden.

Die elektrische Ladung ist eine der grundlegenden physikalischen Größen und Eigenschaft der elementaren Materiebausteine. Zwar hat der Mensch kein Sinnesorgan für die direkte Wahrnehmung elektrischer Ladung, Entladungsphänomene wie Gewitterblitze oder leichte Stromschläge an Metallelementen nach Überschreiten eines Teppichbodens lassen sich aber durchaus im Alltag erleben. Da Positronen und Elektronen die kleinsten ladungsbehafteten Teilchen sind, ist jede elektrische Ladung ein Vielfaches dieser sog. Elementarladung e.

• Elektrische Ladung
  • Formelzeichen: Q oder q
  • Einheit: C (Coulomb)
  • Eigenschaften
    • Kann positive oder negative Werte annehmen
      • Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab
      • Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an
    • Wert ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladungen von Protonen oder Elektronen
    • Ladungserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System muss die Summe der elektrischen Ladungen konstant bleiben!
  • Coulomb'sches Gesetz: Beschreibt die Kraft, die zwischen zwei punktförmigen, elektrischen Ladungen wirkt
    • F = [1 / (4 × π × ε₀)] × [q₁ × q₂ / r²]
      • Einheit: N (Newton)
      • F = Coulomb'sche Kraft, ε₀ = elektrische Feldkonstante, q₁ und q₂ = Punktladungen, r = Abstand zwischen den beiden Ladungen

Die Summe der Ladungen in einem abgeschlossenen System bleibt immer konstant!

Elektrisches Feld

Elektrische Ladungen erzeugen im Raum sog. elektrische Felder, die wiederum mit allen vorhandenen Ladungen wechselwirken können. Die Kräfte, die diese Wechselwirkungen hervorrufen, nennt man Coulomb'sche Kräfte. Sie werden dargestellt mittels sog. Feldlinien, die die Kräfte in Richtung und Stärke beschreiben .

• Elektrisches Feld: Kraftfeld, das von elektrischen Ladungen hervorgerufen wird; gibt an, wie groß die Kraft ist, die auf eine Ladung im Feld wirkt
  • Formel: E = F / Q
    • Einheit: N/C (Newton pro Coulomb)
    • E = elektrische Feldstärke, F = Coulomb'sche Kraft, Q = Ladung
  • Wichtige Feldeigenschaften
    • Feldlinien verlaufen immer von der positiven zur negativen Ladung (also vom Plus- zum Minuspol)
    • Bei „homogenen“ Feldern ist die elektrische Feldstärke überall gleich groß
  • Feldstärke: Elektrische Spannung in Abhängigkeit von der Entfernung zur felderzeugenden Ladung
    • Formel: E = U / d
      • Einheit: V/m
      • E = Feldstärke, U = Spannung, d = Entfernung
  • Wechselwirkung des elektrischen Feldes
    • Positive Ladung: Positive Ladung wird vom elektrischen Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt (also zur negativen Ladung hin)
    • Negative Ladung: Negative Ladung wird vom elektrischen Feld entgegen der Richtung der Feldlinien beschleunigt (zur positiven Ladung hin)
    • Materie: Geladene Bestandteile der Materie (siehe hierzu: Aufbau der Materie) werden innerhalb dieser Materie verschoben
      • Orientierung: Geladene oder polare Moleküle richten sich im elektrischen Feld so aus, dass ihre negative (Partial‑)Ladung zum Pluspol des Feldes zeigt und ihre positive zum Minuspol
      • Polarisation: Durch Verschiebung der Ladung in der Materie bildet sich ein elektrisches Feld, das dem äußeren Feld entgegengesetzt ist
        • Der Einfluss der Polarisation von Materie im elektrischen Feld kann über die Dielektrizitätskonstante ε_r berechnet werden
          • Formel: F₁ / F₀ = 1 / ε_r
            • Einheit: F/m (Farad / Meter)
            • F₀ = Kraft vor der Wechselwirkung, F₁ = Kraft nach der Wechselwirkung, ε_r = Dielektrizitätskonstante

Ladung, die sich gerichtet bewegt, erzeugt einen elektrischen Strom. Dieser wird technisch zur Energieübertragung genutzt und ist nicht nur im Alltag, sondern auch in der modernen Medizin nicht mehr wegzudenken. Im Folgenden werden grundlegende Charakteristika von Strom, der Unterschied zwischen Gleich- und Wechselstrom sowie einfache Schaltkreise und Bauelemente vorgestellt. Strom kann beschrieben werden mittels

• Stromstärke: Gibt an, wie viel Ladung in einer bestimmten Zeitspanne fließt
  • Formel: I = Q / t
    • Einheit: A (= C / s)
    • I = Stromstärke, Q = Ladung, t = Zeit
• Elektrische Spannung: Die elektrische Spannung gibt an, welche Arbeit geleistet werden muss, um eine Ladung gegen ein elektrisches Feld zu bewegen.
  • Formel: U = W / Q
    • Einheit: V („Volt“ = Joule / Coulomb)
    • U = Spannung, W = Zu verrichtende Arbeit, Q = Verschobene Ladung
• Stromdichte: Gibt an, wie viel Strom pro Fläche fließt
  • Formel: j = I / A
    • Einheit: A / m²
    • j = Stromdichte, I = Stromstärke, A = Leiterquerschnitt
• Leitgeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der ein Ladungsträger weitergeleitet wird
  • Formel: v = s / t
    • Einheit: m / s
    • v = Geschwindigkeit, s = Strecke, t = Zeit
• Elektrischer Widerstand: Gibt an, welche Spannung nötig ist, damit in einem Leiter eine bestimmte Stromstärke fließen kann
  • Formel: R = U / I (Ohm'sches Gesetz)
    • Einheit: Ω (Ohm)
    • R = Widerstand, U = Spannung, I = Stromstärke
    • Das Ohm'sche Gesetz kann auch zur Berechnung des Widerstandes eines Wechselstroms, den man Impedanz nennt, verwendet werden.
  • Der Widerstand eines Leiters ist abhängig von der Länge, der Fläche und den Materialeigenschaften: R = ρ × l / A
    • ρ = spezifischer Widerstand des Leiters (Materialeigenschaft), l = Länge des Leiters, A = Fläche des Leiters (z.B. Kreis mit A = 2 π (Durchmesser/2)² oder Rechteck mit A = Länge × Breite)
• Elektrischer Leitwert: Kehrwert des Widerstandes, eine Kenngröße für elektrische Bauteile
  • Formel: G = 1 / R
    • Einheit: S (Siemens, = 1/Ω)
    • G = Leitwert, R = Widerstand

Einige Eigenschaften des elektrischen Stroms lassen sich auch auf das Strömen von Flüssigkeiten, z.B. im Kreislaufsystem, übertragen!

Der elektrische Leitwert darf nicht mit der elektrischen Leitfähigkeit verwechselt werden, die eine Materialkonstante ist!

Beispielrechnung: Leitungsgeschwindigkeit

In einem Nerv wird ein Reiz innerhalb von 0,03 Sekunden eine Strecke von 40 cm transportiert. Wie groß ist die Leitgeschwindigkeit?

• Gesucht: Leitgeschwindigkeit v
• Gegeben: Strecke s, Zeit t
  • v = s / t => 0,4 m / 0,03 s = 13 m/s

Beispielrechnung: Strom

In einem Leiter mit dem Querschnitt 16 mm² fließen 6 × 10¹⁸ Elektronen pro Sekunde. Die Spannung im System beträgt 25 V. Wie groß ist die Stromdichte und wie groß der Widerstand des Stromkreises?

• Gesucht: Stromdichte j, Widerstand R
• Gegeben: Elektronenzahl N_e, Zeit s, Leiterquerschnitt A, Spannung U
  • Q = N_e ×e => 6 × 10¹⁸ × 1,6 × 10^-19 C = 0,96 C
  • I = Q / t => 0,96 C / 1 s = 1 A
  • j = I / A => 1 A / 16 mm² = 0,0625 A/mm²
  • R = U / I => R = 25 V / 1 A = 25 Ω

Arbeit und elektrischer Strom

Die Energie, die in elektrischem Strom steckt, wird auch als elektrische Arbeit bezeichnet. Aus der elektrischen Arbeit ergibt sich unter Berücksichtigung der Zeit die erbrachte elektrische Leistung.

• Elektrische Arbeit: Energie, die aufgewendet werden muss, um eine Ladung gegen eine elektrische Spannung zu bewegen, bzw. Energie, die frei wird, wenn eine Ladung dem „Druck“ einer elektrischen Spannung nachgibt
  • Formel: W = Q × U (= U × I × t)
    • Einheit: J („Joule“= C x V = N x m = W × s)
    • W = Elektrische Arbeit (auch Energie), Q = Ladung, U = Spannung, I = Stromstärke, t = Zeit
• Elektrische Leistung: Die pro Zeiteinheit verrichtete elektrische Arbeit
  • Formel: P = U × I (= W / t)
    • Einheit: W („Watt“ = V × A = J / s)
    • P = Leistung, U = Spannung, I = Stromstärke, W = elektrische Arbeit

Beispielrechnung

Durch ein Haushaltsgerät im Standby-Betrieb fließt immer noch ein Strom der Stärke 0,5 A. Welche Energie in Form elektrischer Arbeit wird in einer Stunde verbraucht, wenn das Gerät eine Impedanz (=Wechselstromwiderstand) von 12 Ω hat?

• Gesucht: Elektrische Arbeit W
• Gegeben: Stromstärke I, Impedanz R, Zeit t
  • Es gibt verschiedene Rechenwege, hier soll der über die Spannung und die Leistung gezeigt werden.
  • Spannung U = R x I = 12 Ω x 0,5 A = 6 V
  • Elektrische Leistung P = U x I = 6 V x 0,5 A = 3 W
  • Arbeit W = P × t = 3 W × 3.600 s = 10.800 J (= 10,8 kJ)

Gleichstrom und Wechselstrom

In der Praxis werden zwei Arten von elektrischem Strom verwendet, der Gleichstrom und der Wechselstrom.

• Gleichstrom
  • Definition: Strom, bei dem Plus- und Minuspol immer gleich bleiben
  • Flussrichtung: Elektronen fließen vom Minus- zum Pluspol, also immer in die gleiche Richtung
  • Beispiel: Batterie
• Wechselstrom
  • Definition: Strom, bei dem Plus- und Minuspol mit einer konstanten Frequenz getauscht, also „umgepolt“, werden
  • Flussrichtung: Elektronen fließen vom Minus- zum Pluspol, wechseln also mit der Frequenz des Poltauschs auch die Fließrichtung
  • Beispiel: Strom aus der Steckdose
  • Mathematische Beschreibung
    • Sinusförmige Schwingung: U(t) = U₀ × sin(ωt)
      • U = Spannung, t = Zeit, ω = Kreisfrequenz
    • Kreisfrequenz: ω = 2 × π × f = 2 × π / T
      • ω = Kreisfrequenz, f = Frequenz, T = Perioden- oder Schwingdauer

Gefahrenpotenzial von Strom
Wechselstrom ist viel gefährlicher als Gleichstrom, da das Herz versucht, den schnelleren und stärkeren elektrischen Impulsen des Wechselstroms zu folgen, es kommt zum Kammerflimmern. Daher gilt Gleichstrom erst ab einer Spannung von 120V als lebensgefährlich, Wechselstrom schon ab einer Spannung von 50V! (Für Details siehe: Tod durch elektrischen Strom)

Einfache Schaltkreise

In einem Stromkreis werden ein oder mehrere Bauelemente leitend miteinander und mit einem Plus- und einem Minuspol verbunden, zwischen denen ein Strom fließt. Um solche Schaltkreise darzustellen, gibt es eine sehr einfache Symbolschreibweise.

Reihen- und Parallelschaltung

Bauelemente können entweder hintereinander, also „in Reihe“ geschaltet werden, oder nebeneinander „in parallelen“ Stromkreisen liegen. (Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltung sind natürlich auch möglich). Für diese beiden Arten der Schaltkreise gibt es einige einfache Regeln, die in Analogie auch für den Druck im Blutkreislauf Anwendung finden (siehe: Grundlagen des Kreislaufs).

Beispielrechnung

In einem Stromkreis sind drei Widerstände (R₁ = 20 Ω, R₂ = 25 Ω, R₃ = 18 Ω) eingebaut. Bestimme den Gesamtwiderstand, wenn es sich um eine Reihenschaltung handelt, und wenn es sich um eine Parallelschaltung handelt.

• Gesucht: Gesamtwiderstand R_gesamt
• Gegeben: Einzelwiderstände R₁, R₂, R₃; Schaltkreis
  • Reihenschaltung => R_gesamt = R₁ + R₂ + R₃
  • => 20 Ω + 25 Ω + 18 Ω = 63 Ω
  • Parallelschaltung => 1/R_gesamt = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃
  • => 1/R_gesamt = 1/20 Ω + 1/25 Ω + 1/18 Ω = 0,146 1/Ω
  • => R_gesamt = 6,85 Ω

Maschenregel (= Zweite Kirchhoff'sche Regel)

Als Masche bezeichnet man einen kompletten Umlauf in einer Schaltung, wenn also mehrere in Reihe geschaltete Teilspannungen einen Kreis bilden. Diese Situation tritt in der Medizin bspw. beim EKG auf: Hier bilden die Ableitungen I, -II und III eine Masche.

• Voraussetzung: Die Teilspannungen in einer Reihenschaltung bilden einen Umlauf
• Folge: Die Summe aller Teilspannungen ist Null
  • U₁ + U₂ +...+ U_i = 0
• Beispiel EKG: Die Ableitungen I, -II, III bilden eine Masche
  • U_I - U_II + U_III = 0 ⇔ U_I + U_III = U_II

Klemmspannung und Effektivspannung

Die Spannung, die in einem Stromkreis gemessen wird, ist kleiner als die theoretisch erwartete, da alle Bauteile einen (kleinen) Innenwiderstand besitzen. Für einen elektrischen Leiter kann man diesen Innenwiderstand einfach berechnen:

• Innenwiderstand eines Leiters: Innenwiderstand ist der Widerstand, den jedes Bauteil besitzt, weil es aus Materie aufgebaut ist, hier für einen zylindrischen Leiter berechnet
  • Formel: R = ρ × l / A
    • Einheit: Ω (Ohm)
    • R = Widerstand, ρ = Resistivität, l = Länge, A = Querschnittsfläche
• Resistivität: Auch „spezifischer Widerstand“; ist eine formunabhängige Materialkonstante
  • Einheit: Ω × m
• Klemmspannung: Real gemessene Spannung – also die Spannung, die den Innenwiderstand des Stromkreises berücksichtigt
  • Formel: U_k = U₀ - I × R_i,0
    • Einheit: V
    • U_k = Klemmspannung, U₀ = theoretische Spannung ohne Berücksichtigung des Innenwiderstands, I = Stromstärke, R_i = Innenwiderstand
• Spannungsabfall: In realen Stromkreisen kommt es zur Verringerung der Spannung durch den Innenwiderstand
  • Formel: U(t) = U₀ × e^-(t/RC)
    • Einheit: V
    • U(t) = Spannung in Abhängigkeit von der Zeit, U₀ = Ursprungsspannung, t = Zeit, RC = Zeitkonstante (auch τ)
• Effektivspannung: Gleichstromspannung, die die gleiche effektive Wirkung hat wie ein Wechselstrom mit einer bestimmten maximalen Spannung
  • Formel: U_eff = U_s / √2
    • Einheit: V
    • U_eff = Effektivspannung (Gleichstrom), U_s = Spitzenspannung eines Wechselstroms

Die Berechnung für den Innenwiderstand eines Leiters kann man auch auf Axone im Nervensystem übertragen!

Kondensator

Ein Kondensator ist ein Bauelement, das in einem Gleichstromkreis elektrische Ladung und damit elektrische Energie in Form eines elektrischen Feldes zwischen zwei durch ein sog. Dielektrikum voneinander isolierten, unter Spannung stehenden Elektroden speichert. Als Dielektrikum bezeichnet man jeden Stoff, der nicht über freibewegliche Ladungsträger verfügt und somit nur schwach oder nicht-leitend ist. Ein Dielektrikum kann sowohl ein Gas, eine Flüssigkeit oder auch ein Feststoff sein, oft handelt es sich um Keramikmaterialien oder Kunststoffe. Die elektrischen Eigenschaften des Materials gehen in Form der Dielektrizitätskonstante in die Beschreibung des Kondensators ein.

• Kondensator: Bauelement, das Ladungen und damit Energie in Form eines elektrischen Feldes speichert.
  • Kapazität: Maß für die Speicherfähigkeit, gibt die Ladung Q an, die ein Kondensator bei angelegter Spannung U speichern kann.
    • Formel: C = Q / U
      • Einheit: F (Farad)
      • C = Kapazität, Q = Ladung, U = Spannung
    • Die Kapazität hängt von der Form des Kondensators ab, einfachste Form ist der Plattenkondensator
      • Plattenkondensator: C = ε₀ × ε × A/d
        • Einheit: F (Farad)
        • C = Kapazität, ε₀ = elektrische Feldkonstante, ε = Dielektrizitätskonstante, A = Elektrodenfläche, d = Elektrodenabstand
    • Werden mehrere Kondensatoren in einen Schaltkreis eingebaut, so gilt für ihre Kapazitäten:
      • Reihenschaltung: 1 / C_gesamt = 1 / C₁ + 1 / C₂
      • Parallelschaltung: C_gesamt = C₁ + C₂
  • Strom durch einen Kondensator : I = Q / t (entspricht der normalen Formel für die Stromstärke, s.o.)
    • Einheit: A (Ampere)
    • I = Stromstärke, Q = Ladung, t = Zeit
  • Zeitkonstante (τ): Berechnet sich als Produkt aus Widerstand R und Kapazität C: τ = R × C

Beispielrechnung

Ein Plattenkondensator mit einer Elektrodenfläche von 5cm², einem Elektrodenabstand von 6cm und einer Dielektrizitätskonstante von 4,5F/m steht unter dem Einfluss einer Spannung von 10V. Welche maximale Ladung kann im Kondensator gespeichert werden?

• Gesucht: Ladung Q
• Gegeben: Elektrodenfläche A, Elektrodenabstand d, Dielektrizitätskonstante ε, Spannung U
  • => C = ε₀ × ε × A/d => 8,85 × 10^-12 F/m × 4,5 F/m × 0,0005 m² / 0,06 m = 0,33 × 10^-12 F
  • => C = Q / U => Q = C × U
  • => 0,33 × 10^-12 F × 10 V = 3,3 × 10^-12 C

Induktion und Induktivität

Jeder elektrische Strom erzeugt immer auch ein Magnetfeld, das im 90°-Winkel zur Flussrichtung des Stroms ausgerichtet ist und analog zum elektrischen Feld über Feldlinien dargestellt wird. Umgekehrt können auch Veränderungen im Magnetfeld (z.B. durch bewegte Magneten) eine elektrische Spannung induzieren. Dieses Phänomen nennt man Induktion.

• Magnetischer Fluss Φ: Gesamtheit der magnetischen Feldlinien
  • Einheit: Wb (Weber)
• Magnetische Flussdichte B : Magnetischer Fluss durch eine bestimmte Fläche
  • Formel: B = Φ / A (bei senkrecht zur Fläche verlaufenden Feldlinien)
    • Einheit: T (Tesla = V × s / m² = Wb / m²)
    • B = Magnetische Flussdichte, Φ = Magnetischer Fluss, A = Fläche
• Induktivität L: Eigenschaft einer Spule abhängig von Material und Bauform, durch ein Magnetfeld eine Spannung zu erzeugen
  • Die Stärke der Induktivität wird bestimmt durch das Verhältnis von entstehender Spannung zur zeitlichen Änderungsrate der Stromstärke
    • Formel: U = L × dI/dt (=> L = U / dt/dI)
      • Einheit: H (Henry)
      • U = Spannung, L = Induktivität, dI/dt = zeitliche Änderung der Stromstärke (I = Stromstärke, t = Zeit)

Die magnetische Flussdichte B beschreibt die Stärke eines Magnetfeldes. Die Induktivität L ist dagegen eine Eigenschaft einer Spule!

Transformator

Ein elektrisches Bauelement, bei dem die Induktion eine große Rolle spielt, sind Spulen, die u.a. im Transformator eingesetzt werden. Im Transformator durchfließt ein Strom eine Spule und erzeugt so mittels Induktion in einer zweiten, benachbarten Spule, die nicht durch einen Leiter mit der ersten Spule verbunden ist, seinerseits einen Strom. Die Spannung des Induktionsstroms unterscheidet sich von der angelegten Spannung und ist v.a. abhängig von der Zahl der Windungen der beiden Spulen.

• Transformator: Bauteil, das einen Strom oder eine Spannung in eine andere umwandelt (z.B. zur Regulation)
  • Idealer Transformator: U₂ / U₁ = n₂ / n₁
  • U = Spannung, n = Zahl der Windungen der Spule

Elektrische Ladung

Was ist ein elektrisches Feld und wie wird seine Stärke angegeben?

Elektrischer Strom

Welche physikalische Größe wird in Ampere (A) angegeben und wie kann diese Einheit noch geschrieben werden (leite dir dies aus der Formel für die Größe her)?

Angenommen, durch einen dicken und einen dünnen Kupferdraht fließt pro Zeiteinheit die gleiche Menge an Strom – in Hinblick auf welche physikalische Größe unterscheiden sich dann beide Leiter?

Was ist der Unterschied zwischen der (elektrischen) Leitgeschwindigkeit und dem elektrischen Leitwert?

Was ist ein elektrischer Widerstand und mit welchem Gesetz kann er berechnet werden?

Was ist elektrische Arbeit und wie kann man sie berechnen (nenne zwei Formeln)?

Was bedeutet es, wenn auf einer Glühbirne „60W“ steht?

Schaltkreise und elektrische Geräte

Was gilt für Widerstände in einer Reihen- bzw. in einer Parallelschaltung?

Was besagt die sog. Maschenregel und wie kann man sie auf die Ableitung eines EKGs nach Einthoven anwenden?

Was macht ein Kondensator und was besagt die umgangssprachlich auch „Kondensatorgleichung“ genannte Formel?

Wie berechnet man die Zeitkonstante eines Kondensators und was gibt man damit genau an?

Offene Fragen zum Kapitel Elektrizitätslehre

Was ist eine elektrische Ladung und wie verhält sie sich in einem elektrischen Feld?

Beschreibe, was elektrischer Strom ist — auf Teilchenebene und mithilfe des Ohm'schen Gesetzes.

Zeichne einen Stromkreis, in dem eine Lampe an eine Batterie angeschlossen ist und mit einem Schalter an- und ausgestellt werden kann. Wenn man in diesem Stromkreis nun die Stromstärke bzw. die Spannung messen wollte, welche Messgeräte müsste man dazu verwenden und wo würde man sie im Stromkreis einbauen?